Un mundo de relaciones enredadas

EL MUNDO ES UN PAÑUELO

Mucha gente ha experimentado la sorpresa, después de conversar con un desconocido con quien compartía asiento en un largo viaje, al comprobar que tenían conocidos comunes. "El mundo es un pañuelo", asentimos. En los años 60, el psicólogo social Stanley Milgram, concluyó un experimento que intentaba concretar el tamaño de ese pañuelo. Milgram seleccionó arbitrariamente individuos en Nebraska. Se les pedía entonces que enviaran una carta a través de una cadena de conocidos mutuos hasta un individuo desconocido para ellos en Boston, a unos 2.500 km. Cada uno de los iniciadores de la cadena enviaba entonces a un conocido la carta con idénticas instrucciones. Siempre con la suposición razonable de que la distancia al personaje objetivo disminuiría.

	No solo las redes sociales, sino redes como las de energía eléctrica o Internet, y muchas redes biológicas como el sistema nervioso, ecosistemas o metabolismos, poseen propiedades estructurales comunes que exhiben el fenómeno de "Small World"

En 64 casos se lograron establecer cadenas de conocidos de conocidos que llevaban la carta desde el individuo inicial al individuo diana en Boston. ¿Qué número de individuos, diría el lector, que separaban en promedio a dos personas escogidas al azar de entre la población norteamericana de unos 250 millones de individuos? La respuesta es: ¡tan solo seis! Desde entonces este resultado se conoce como "seis grados de separación", la versión estadística del dicho popular: el mundo es un pañuelo.

Recientemente los físicos han empezado a encontrar el fenómeno de "seis grados de separación", entendido como una distancia media entre nodos sorprendentemente baja para redes gigantescas, en la estructura de las redes más variopintas. Ellos prefieren decir que las redes presentan efecto "Small-World". Las técnicas de análisis han demostrado que no solo las redes sociales, sino redes como las de energía eléctrica o Internet, y muchas redes biológicas como el sistema nervioso, ecosistemas o metabolismos, poseen propiedades estructurales comunes que exhiben el fenómeno de "Small World".

Cuando empezaron a estudiar la estructura de estas redes, los investigadores esperaban que fuera al azar, lo que llaman redes aleatorias. Es fácil ver que en una red donde los enlaces se han establecido de forma aleatoria, el camino medio entre dos nodos cualesquiera debe ser bajo. Pensemos en una red de relaciones de amistad. Si alguien conoce en promedio a unas 1000 personas, y cada una de ellas conoce a otras mil, en solo dos pasos alcanzamos una población de un millón de personas... pero como el lector ya habrá intuido, las redes sociales no están formadas al azar. Los amigos de mis amigos suelen ser amigos míos. Como gusta decir a los científicos, las redes sociales muestran alta "clusterización" o transitividad. Una red regular, como una malla cuadrada, por ejemplo, exhibe alta transitividad, pero no efecto Small-World.

SMALL WORLD

Recientemente, inspirados en las redes sociales, D. J. Watts y S. H. Strogatz (Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature 393, 440-442, 1998) propusieron un modelo sencillo de red denominado Small World. En la figura mostramos una red regular (izquierda) construida con valor p = 0 y la derecha una red aleatoria con valor p = 1. Para construir las redes, se parte de una red regular como la de la izquierda. El valor p indica la probabilidad de que cualquier nodo redireccione una conexión a cualquier otro nodo de la red al azar. Así, p = 0, implica que la red permanece idéntica. Y, por ejemplo, p = 0.3 nos indicaría que el 30% de las conexiones se han redibujado al azar y el resto permanecen regulares. De esta manera, Watts y Strogatz parametrizaron de forma continua el paso de un grafo regular a uno aleatorio.


Podemos definir la distancia media entre nodos o diámetro de una red como el tamaño medio de los caminos mínimos entre todos los pares de nodos. Para el caso de grafos regulares tenemos que el diámetro crece linealmente con el número de nodos. Para grafos aleatorios, sin embargo, crece como el logaritmo del número de nodos. Este resultado expresa matemáticamente nuestra intuición de que, es más rápido alcanzar cualquier punto desde un nodo escogido al azar en una red aleatoria, que en una regular.

Ambas redes se distinguen claramente en otra propiedad: la transitividad de sus conexiones. En una red regular es muy probable que si un nodo A está conectado con un nodo B, y este a su vez lo está con un nodo C, entonces A esté conectado con C.

En el caso de redes aleatorias esto es muy improbable. Lo que descubrieron Watts y Strogatz es que al aumentar ligeramente p desde 0, el equivalente a introducir muy pocas conexiones al azar, el diámetro de una red cuasi-regular o Small-World disminuía bruscamente. En esas redes el diámetro crece logarítmicamente como en las aleatorias, es fácil saltar en pocos pasos desde un nodo a otro cualquiera de la red, pero mantienen un alto el valor de transitividad como en las regulares. Se mostraban como buenas candidatas para explicar las redes sociales: nuestros conocidos se conocen entre sí, y a pesar de ello, la distancia media que separa a pares cualesquiera de individuos en la red de relaciones es baja.

REDES LIBRES DE ESCALA

¿Qué estructura poseen las redes sociales para mantener alta la transitividad y baja la distancia media? Las redes investigadas presentan una distribución de conexiones en forma fractal que se ha denominado libre de escala.

Si definimos P(k) como el número esperado de nodos con k conexiones, muchas de las redes investigadas poseen distribuciones que decaen como leyes de potencias: P(k) ~ k ^-α . Las redes que presentan esta distribución han sido denominadas libres de escala por su analogía con los fractales, para los que no podemos definir una escala característica. Cuando representamos la distribución de probabilidad P(k) en una gráfica log-log, nos aparece como una línea recta de pendiente -α, como observamos en la gráfica inferior para la red de colaboraciones entre actores.


Si el exponente α, pongamos por caso, es 2, significa que la probabilidad de que un nodo posea una sola conexión es cuatro veces mayor a que posea 4. Y alrededor de 10.000 veces mayor a que posea 100 conexiones. Así en estas redes hay un pequeño porcentaje de nodos, llamados "hubs", que poseen muchísimas conexiones (coloreados en rojo en la red de la izquierda), mientras que la mayoría poseen pocas. Estos "hubs" son los responsables del efecto Small World y de la alta transitividad en las redes libres de escala.

Los físicos han estudiado una buena colección de redes sociales como las formadas por directores de compañías que coinciden en los mismos consejos directivos, coautorías en artículos científicos, citas bibliográficas, etc... Todas ellas muestran efecto Small-World. Para algunas se ha demostrado claramente estructura libre de escala. Por ejemplo, imagine el lector que hace el seguimiento de todas las llamadas que se reciben o mandan interna o externamente en una ciudad como Río de Janeiro en un día. Los nudos de su red serán números de teléfono y dos números estarán conectados si ha existido al menos una llamada entre ellos a lo largo del día. En un reciente trabajo se muestra que la red de llamadas posee estructura libre de escala con exponente 2,1. En el caso de los mensajes por correo electrónico el exponente es 1,5 para el número medio de correos entrantes y 2,0 para el de salientes (en este caso la red posee enlaces direccionados).

Los sociólogos ya tenían conciencia de la existencia de "hubs" en las redes sociales desde que empezaron a estudiarlas en los años 30. Ahora los físicos están desentrañando la estructura matemática de esas redes y su conocimiento abre nuevas posibilidades

Los sociólogos ya tenían conciencia de la existencia de "hubs" en las redes sociales desde que empezaron a estudiarlas en los años 30. Ahora los físicos están desentrañando la estructura matemática de esas redes y su conocimiento abre nuevas posibilidades. Por ejemplo: en un reciente estudio se construyó la red de relaciones sexuales de 2.810 individuos basada en estadísticas realizadas en Suecia. Se analizaba la distribución de parejas a lo largo de un solo año. Los nudos de esta red eran los sujetos y los hilos estaban presentes entre individuos que habían mantenido relaciones sexuales al menos una vez a lo largo del año de estudio. La red exhibe una estructura libre de escala. Eso tiene una importancia trascendental para el desarrollo de estrategias contra enfermedades por contagio sexual. Los estudios epidemiológicos clásicos predicen que ha de vacunarse en muchos casos hasta un 90% de la población para erradicar una epidemia. Los resultados teóricos recientes, que tienen en cuenta la estructura libre de escala de las redes, muestran como una política de intervención más eficiente consiste en vacunar a los "hubs". Y si esto vulnera la intimidad de las personas, basta con asegurarse de que se vacuna a una persona cualquiera y al resto de sus conocidos. Con esta estrategia tan sencilla se asegura casi al 100% que se está vacunando a un "hub", aunque se desconozca quién es en concreto.

TOPOLOGÍA Y DINÁMICA

Recientemente se ha descubierto que la estructura de las redes puede ser determinante en su funcionamiento. Asistimos a la sorpresa de encontrar estructuras topológicas semejantes y con estructuras inesperadas en las redes de ámbitos extraordinariamente distintos. Los físicos están intentando justificar teóricamente este hecho. La relación con las reglas de crecimiento y evolución de dichas redes o los principios de optimización son tan solo algunos de los problemas que están siendo abordados. El objetivo final es allanar el camino para entender el diálogo entre la dinámica y la estructura de esas redes que forman el mundo y en las que en muchos casos estamos inmersos.